Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{3}{4}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及相應(yīng)的x的值
（3）若集合{x|f（x）=a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]}內(nèi)有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式可得所求區(qū)間；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得最值及對(duì)應(yīng)x的值；
（3）求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，可得直線y=a與y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{6}$），或x=$\frac{π}{3}$只有一個(gè)交點(diǎn)，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+1=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得
kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
即有函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值1，f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，f（x）取得最小值$\frac{3}{4}$；
（3）由（2）可得f（x）的值域?yàn)閇$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]．
且f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]，減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
且f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，
由集合{x|f（x）=a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]}內(nèi)有且只有一個(gè)元素，
可得直線y=a與y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{6}$），或x=$\frac{π}{3}$只有一個(gè)交點(diǎn)，
即有$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{5}{4}$或a=$\frac{3}{2}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$）∪{$\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意運(yùn)用二倍角公式和兩角差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．