Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為正三角形，ABCD是平行四邊形且　．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求PA與平面PBC所成的角．

Answer 1

解：取AD中點為O
∵△PAD為正三角形
∴PO⊥AD（1分）
又面PAD⊥面ABCD且交線為AD
∴PO⊥面ABCD（2分）
又在平行四邊形ABCD中AB=BD∴OB⊥AD
∴建立坐標系如圖：為x軸，為y軸，為z軸（3分）
（1）證明：又，
∴設PA=4，則，則（4分）
∴A（2，0，0），D（-2，0，0），B（0，，0），C（-4，，0），P（0，0，）（5分）
∴，（6分）
∴（7分）
∴AD⊥PB（8分）
（2）設平面PBC的法向量為
則，
令y=2，得（10分）
設與所成角為θ，則（11分）
即∴（12分）
∴與所成角為60⁰（13分）
∴與平面PBC所成角為30⁰（14分）
分析：（1）取AD中點為O，由已知中△PAD為正三角形，易得PO⊥AD，再由平面PAD⊥平面ABCD，結合面面垂直的性質可得PO⊥面ABCD，故可以以O為坐標原點建立空間坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出直線AD與直線PB的方向向量，代入向量數(shù)量積公式，即可得到他們的方向向量數(shù)量積為0，進而得到AD⊥PB；
（2）求出直線PA的方向向量及平面PBC的法向量，代入線面夾角的向量法公式，求出線面夾角的正弦值，進而得到直線PA與平面PBC所成的角．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面垂直的性質，其中根據(jù)已知條件，確定出在O點處三條直線兩兩垂直，從而以O點建立空間坐標系是解答本題的關鍵．