Question

5．已知f（x）是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，若函數(shù)y=f（2x²+1）+f（λ-x）只有一個零點，則實數(shù)λ的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{7}{8}$
• D． -$\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 由題意利用函數(shù)的單調性，函數(shù)的奇偶性可得只有一個x的值，使f（2x²+1）=f（x-λ），即只有一個x的值，使2x²+1=x-λ，由判別式等于零，求得λ的值．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x²）+f（k-x）只有一個零點，∴只有一個x的值，使f（2x²+1）+f（λ-x）=0．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴只有一個x的值，使f（2x²+1）=f（x-λ），
又函數(shù)f（x）是R上的單調函數(shù)，∴只有一個x的值，使2x²+1=x-λ，
即方程2x²-x+λ+1=0有且只有一個解，
∴△=1-8（λ+1）=0，解得λ=-$\frac{7}{8}$，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的零點，函數(shù)的單調性，函數(shù)的奇偶性，只要基礎牢固，問題容易解決，屬于中檔題．