Question

下列說法正確的個數是
①“在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題是真命題；
②“m=-1”是“直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直”的充要條件；
③“三個數a，b，c成等比數列”是“b=

ac

”的既不充分也不必要條件；
④命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀³+1＞0”（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①中，根據△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，判定①正確；
②中，m=-1時，兩直線垂直；兩直線垂直時，m=0，或m=-1，判定②錯誤；
③中，a，b，c成等比數列時，b=±

ac

，b=

ac

時，a，b，c不一定成等比數列，判定③正確；
④中，由命題P的否定是￢P，判定④正確．

解答： 解：對于①，“在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”的逆命題是
“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”，它是真命題，
∴①正確；
對于②，當m=-1時，直線mx+（2m-1）y+1=0和3x+my+2=0垂直，充分性成立；
當直線mx+（2m-1）y+1=0和3x+my+2=0垂直時，3m+m（2m-1）=0，∴m=0，或m=-1，必要性不成立，
∴②錯誤；
對于③，當三個數a，b，c成等比數列時，b²=2ac，∴b=±

ac

，∴充分性不成立；
當b=

ac

時，a，b，c不一定成等比數列，如a=b=c=0，∴必要性不成立；
∴③正確；
對于④，命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀³+1＞0”，
∴④正確．
以上正確的命題有3個，它們是①③④．
故選：C．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了正弦定理的應用，平面內兩條直線垂直的判定，等比數列的應用，充分與必要條件，命題的否定等知識，是基礎題．