Question

在△ABC中，給出下列結(jié)論：
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，則∠B的最大值是

π

3

；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，則∠B的最大值是

π

3

；
（3）若A，B，C成等比數(shù)列，則∠B的最大值是

π

3

．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理和基本不等式、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理和基本不等式、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式、三角形內(nèi)角和定理即可得出．

解答： 解：在△ABC中：
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

≥

(a+c)2 2 - (a+c)2 4

2ac

=

(a+c)2

8ac

≥

4ac

8ac

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=b時(shí)取等號(hào)．
又∵0＜B＜π，
∴0＜B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，因此正確．
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，則b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=b時(shí)取等號(hào)．
又∵0＜B＜π，
∴0＜B≤

π

3

．
∴∠B的最大值是

π

3

，因此正確．
（3）若A，B，C成等比數(shù)列，則B²=AC，
又A+C=π-B，
∴π-B≥2

AC

=2

B2

=2B，當(dāng)且僅當(dāng)A=C時(shí)取等號(hào)．
∴B≤

π

3

，
因此∠B的最大值是

π

3

．
故正確．
綜上可知：（1）（2）（3）都正確．
故答案為：（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理和基本不等式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、三角形的內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．