Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義判斷f（x）在（0，1）上的單調性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，然后直接利用函數(shù)奇偶性的定義證明；
（2）直接利用函數(shù)單調性的定義加以證明．

解答： （1）解：f（x）=x+

1

x

為定義域內的奇函數(shù)．
證明如下：
∵函數(shù)f（x）=x+

1

x

的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
又f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

1

x

為定義域內的奇函數(shù)；
（2）證明：設x₁，x₂是（0，1）內的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

x1-x2

x1x2

)．
∵x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＜0．
則(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性和單調性的判定方法，關鍵是對于步驟的寫法，是基礎題．