Question

已知函數(shù)f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）當函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）時，求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用定義法設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，再根據(jù)f（x₁）-f（x₂）與0的大小比較，對其進行化簡，然后再對a進行討論，從而求解；
（2）先證明f（x）是奇函數(shù)，再將f（1-m）+f（1-m²）＜0移項，利用奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性進行求解；

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．                       
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)，
當a＞1時，a²-1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
當0＜a＜1時，a²-1＜0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴當a＞0且a≠1時，f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）∵f（x）定義域為（-1，1），在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱，…（8分）
又∵f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）是定義域（-1，1）上的奇函數(shù)．                        …（10分）
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²），∴f（1-m）＜f（m²-1），…（12分）
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，…（14分）
解得1＜m＜

2

即為所求m 的取值范圍．                   …（15分）

點評：此題主要考查函數(shù)的奇偶性，要知道偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），是一道中檔題．