Question

15．己知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，則其漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x或y=±2x，兩漸近線的夾角為arctan$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a=2b，討論焦點在x，y軸上時，漸近線方程，運用兩直線夾角的正切公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即為c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，由b²=c²-a²=$\frac{1}{4}$a²，
即a=2b，
當焦點在x軸上時，漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{1}{2}$x；
當焦點在y軸上時，漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x；
當焦點在x軸上時，兩漸近線的夾角的正切為$\frac{\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1+\frac{1}{2}•（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}$；
當焦點在y軸上時，兩漸近線的夾角的正切為|$\frac{2-（-2）}{1+2•（-2）}$|=$\frac{4}{3}$．
故答案為：y=±$\frac{1}{2}$x或y=±2x；arctan$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，以及夾角的大小，考查離心率公式的運用，化簡運算能力，屬于中檔題．