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16.如圖,上海迪士尼樂園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為游客體驗活動區(qū).已知∠A=120°,AB、AC的長度均大于200米.設(shè)AP=x,AQ=y,且AP,AQ總長度為200米.
(1)當(dāng)x,y為何值時?游客體驗活動區(qū)APQ的面積最大,并求最大面積;
(2)當(dāng)x,y為何值時?線段|PQ|最小,并求最小值.

分析 (1)由已知利用三角形面積公式,基本不等式可得SAPQ=12xysin1200=34xy34x+y22=25003,即可得解.
(2)利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2-2xycos120°=(x-100)2+30000,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得線段|PQ|最小值.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)因為:AP=x,AQ=y且x+y=200,…2分
所以:SAPQ=12xysin1200=34xy34x+y22=25003.…4
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時,等號成立.
所以:當(dāng)x=y=100米時,SAPQmax=25003平方米.   …6分
(2)因為:PQ2=x2+y2-2xycos120°
=x2+y2+xy…8分
=x2+(200-x)2+x(200-x)
=x2-200x+40000
=(x-100)2+30000.…10分
所以:當(dāng)x=100米,線段|PQ|min=1003米,此時,y=100米.…12分
答:(1)當(dāng)AP=AQ=100米時,游客體驗活動區(qū)APQ的面積最大為25003平方米.
(2)當(dāng)AP=AQ=100米時,線段|PQ|最小為1003.…14分.

點評 本題主要考查了三角形面積公式,基本不等式,余弦定理,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

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