Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知△ABC的周長為6，且a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC面積的最大值是

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，并利用基本不等式求出cosB≥，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象得到B的范圍，同時由b= 及基本不等式列出關(guān)于b的不等式，
求出不等式的解集得到b的范圍，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊列出不等式，由三角形的周長及b²=ac，得到關(guān)于b的一元二次不等式，進一步確定b的范圍，再由S=ac•sinB
=b²•sinB，得到S的最大值．
解答：依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，c²
由余弦定理得：cosB==≥=，∴0＜B≤，
又b=≤=，從而0＜b≤2，∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，b＞，∴＜b≤2，
∴S=acsinB=b²•sinB≤•2²•sin=，
則S的最大值為，
故選C．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有等比數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積運算，以及二次函數(shù)最值的求法，其中根據(jù)余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的解法得出B及b的范圍是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．