Question

18．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過OQ的中點(diǎn)作x軸的垂線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$c，c為半焦距．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點(diǎn)A斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)B，以AB為直徑的圓過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得到A的坐標(biāo)，代入橢圓方程得到b，c的關(guān)系式，結(jié)合隱含條件即可求得橢圓的離心率；
（2）由離心率得到a，c的關(guān)系，寫出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$求得c值，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由已知可知橢圓過點(diǎn)$A（\frac{a}{2}，\frac{3c}{2}）$，
代入方程有$\frac{{\frac{a^2}{4}}}{a^2}+\frac{{\frac{{9{c^2}}}{4}}}{b^2}=1$，得b²=3c²，
又a²=b²+c²，∴a²=4c²，
∴$e=\frac{1}{2}$；
（2）由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得$\frac{a}{2}=c$，
∴點(diǎn)$A（c，\frac{3}{2}c）$，直線$l：y=\frac{1}{2}x+c$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+c\\ \frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1\end{array}\right.$，解得B（-2c，0）．
又P（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），由已知$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，
即$（c-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}c-\frac{9}{2}）•（-2c-\frac{1}{2}，-\frac{9}{2}）=0$．
得$（\frac{1}{2}-c）（\frac{1}{2}+2c）-\frac{9}{2}（\frac{3c}{2}-\frac{9}{2}）=0$．
解得c=2．
∴a=4，b²=a²-c²=12．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．