Question

17．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　�。�

• A． y=x+1
• B． y=-x³
• C． y=$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及函數(shù)單調(diào)性定義，反比例函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)單調(diào)性，及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷便可判斷出每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A．y=x+1的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．x增大時(shí)，x³增大，-x³減小，即y減小，∴y=-x³在定義域R上為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．y=x|x|的定義域?yàn)镽，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴y=x|x|在[0，+∞），（-∞，0）上單調(diào)遞增，且0²=-0²；
∴該函數(shù)在定義域R上是增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，反比例函數(shù)的單調(diào)性，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，以及二次函數(shù)和分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．