Question

17．若點O和點F分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的焦點F，設出點P，代入雙曲線方程求得縱坐標的表達式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標表示$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$，進而利用二次函數(shù)的性質求得其最小值，則可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍．

解答 解：設P（m，n），由F（-2，0），O（0，0），
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
由點P為雙曲線右支上的任意一點，
可得$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1（m≥$\sqrt{3}$），
即n²=$\frac{{m}^{2}}{3}$-1，
則m²+2m+n²=m²+2m+$\frac{{m}^{2}}{3}$-1=$\frac{4}{3}$m²+2m-1=$\frac{4}{3}$（m+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
由m≥$\sqrt{3}$＞-$\frac{3}{4}$，
可得函數(shù)在[$\sqrt{3}$，+∞）上單調遞增，
即有m²+2m+n²≥3+2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范圍為[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案為：[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程度以及知識的綜合應用能力、運算能力．