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17.若點O和點F分別為雙曲線x23-y2=1的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則OPFP的取值范圍為[3+23,+∞).

分析 求得雙曲線的焦點F,設出點P,代入雙曲線方程求得縱坐標的表達式,根據(jù)P,F(xiàn),O的坐標表示OPFP,進而利用二次函數(shù)的性質求得其最小值,則可得OPFP的取值范圍.

解答 解:設P(m,n),由F(-2,0),O(0,0),
OPFP=(m,n)•(m+2,n)=m2+2m+n2
由點P為雙曲線右支上的任意一點,
可得m23-n2=1(m≥3),
即n2=m23-1,
則m2+2m+n2=m2+2m+m23-1=43m2+2m-1=43(m+342-74,
由m≥3>-34
可得函數(shù)在[3,+∞)上單調遞增,
即有m2+2m+n2≥3+23,
OPFP的取值范圍為[3+23,+∞).
故答案為:[3+23,+∞).

點評 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程,考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調性與最值等,考查了同學們對基礎知識的熟練程度以及知識的綜合應用能力、運算能力.

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