Question

【題目】如圖，△ABC的外接圓O的直徑為AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD．

（1）求證：平面ADC⊥平面BCDE；

（2）試問在線段DE和BC上是否分別存在點(diǎn)M和F，使得平面OMF∥平面ACD？若存在，確定點(diǎn)M和點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥DC，從而AC⊥平面BCDE，由此能求出平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分別存在點(diǎn)M和F，使得平面OMF∥平面ACD，取BC中點(diǎn)M，DE中點(diǎn)F，連結(jié)OM，MF，推導(dǎo)出OM∥AC，MF∥CD，由此推導(dǎo)出在線段DE和BC上存在中點(diǎn)M和F，平面OMF∥平面ACD．

證明：（1）∵△ABC的外接圓O的直徑為AB，CD⊥平面ABC，BE∥CD，

∴AC⊥BC，AC⊥DC，

∵BC∩DC=C，

∴AC⊥平面BCDE，

∵AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCDE．

（2）分別存在點(diǎn)M和F，使得平面OMF∥平面ACD，

取BC中點(diǎn)M，DE中點(diǎn)F，連結(jié)OM，MF，

∵O是AB的中點(diǎn)，∴OM∥AC，MF∥CD，

∵AC∩CD=C，OM∩MF=M，

AC、CD平面ACD，OM，MF平面OMF，

∴在線段DE和BC上存在中點(diǎn)M和F，平面OMF∥平面ACD．