如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,D為AB的中點(diǎn),平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,異面直線BC1與AB1相互垂直.

(1)求證AB1⊥平面A1CD;

(2)若CC1與平面ABB1A1的距離為1,A1C=,AB1=5,求三棱錐A1-ACD的體積.

(1)證明:取A1B1的中點(diǎn)D1,連結(jié)C1D1、BD1,

∴AC=BC,

∴A1C1=B1C1.

又C1D1⊥A1B1,平面A1B1C1⊥平面ABB1A1

∴C1D1⊥平面ABB1A1.∴BD1是BC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影,BC1⊥AB1,所以AB1⊥BD1.又BD1∥A1D,∴AB1⊥A1D.

CD⊥平面A1B1BA,

從而CD⊥AB1.

∴AB1⊥平面A1CD.

(2)解析:由(1)知CD是CC1與平面ABB1A1的距離,

∴CD=1.

在Rt△A1CD中,A1C=,CD=1,

∴A1D==6.

設(shè)A1D∩AB1=E,由△AED∽△B1EA1,得

=,∴AE=AB1=,

=A1D·AE=×6×=5.

·CD=×5×1=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,側(cè)面B1BCC1與底面ABC所成的二面角為120°,E、F分別是棱B1C1、A1A的中點(diǎn)
(Ⅰ)求A1A與底面ABC所成的角;
(Ⅱ)證明A1E∥平面B1FC;
(Ⅲ)求經(jīng)過A1、A、B、C四點(diǎn)的球的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AC⊥BC.側(cè)面A1ABB1是邊長(zhǎng)為a的菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E,F(xiàn)分別是AB1,BC的中點(diǎn).  
(1)求證:直線EF∥平面A1ACC1;   
(2)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFG⊥平面ABC,并給出證明;  
(3)記三棱錐A-BCE的體積為V,且V∈[
32
,12]
,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,又BC1⊥AC,過C1作C1H⊥底面ABC,垂足為H,則點(diǎn)H一定在(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2007•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中 AB=BC=2,∠ABC=120°,又頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影落在AC上,側(cè)棱AA1與底面成60°的角,D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:AA1⊥BD;
(2)若面A1DB⊥面DC1B,求側(cè)棱AA1之長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A'B'C'中,∠ABC=90°,則側(cè)面A'ACC'⊥側(cè)面ABC,又AA'和底面所成60°的角,且AA'=2a,AB=BC=
2
a

(1)求平面ABB'A'與底面ABC所成的角的正切值;
(2)求側(cè)面BB'C'C的面積.

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