Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+1．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜m對(duì)任意n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)前n項(xiàng)和S_n=2S_n-1+1，寫出當(dāng)n≥3，S_n-1=2S_n-2+1，兩式相減，a_n=2a_n-1，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
（Ⅱ）寫出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+1①，
a₁=1，
∴a₂=2，a₃=4，
n≥3時(shí)，S_n-1=2S_n-2+1②
①-②得：a_n=2a_n-1，
∵$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
a_n=2^n-1；
（Ⅱ）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為為公比的等比數(shù)列，
T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜2，
T_n＜m對(duì)任意n∈N^*恒成立，
m≥2，
∴m的取值范圍[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求其取值范圍，屬于中檔題．