Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

），以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使(

DM

+

DN

)•

MN

=0？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）若對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使(

PM

+

PN

)•

MN

=0，試求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，據(jù)A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）知，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

，由此可求出橢圓方程．
（II）(

DM

+

DN

)•

MN

=0?|

DM

|=|

DN

|，若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，1）不在x軸上矛盾．
可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
（III）由題設(shè)條件可推出

y0-n

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -n

- 4km 3+4k2

=-

1

k

，由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即4k2＜

1

n2

-3，要使k存在，只需

1

n2

-3＞0(n≠0)，由此可推導(dǎo)出n的取值范圍．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，據(jù)A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）知，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

解得

a2=4 b2=3

∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（II）∵條件(

DM

+

DN

)•

MN

=0等價(jià)于|

DM

|=|

DN

|
∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，1）不在x軸上矛盾．
∴可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0得4k²+3＞m²．（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀）
則x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=kx0+m=

3m

3+4k2

．
又∵|

DM

|=|

DN

|∴

y0-1

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -1

- 4km 3+4k2

=-

1

k

解得：m=-3-4k²．（8分）
（將點(diǎn)的坐標(biāo)代入(

DM

+

DN

)•

MN

=0亦可得到此結(jié)果）
由4k²+3＞m²得，4k²+3＞（3+4k²）²得，4k²＜-2，這是不可能的．
故滿足條件的直線不存在．（10分）
（III）據(jù)（II）有

y0-n

x0

=-

1

k

，即

3m 3+4k2 -n

- 4km 3+4k2

=-

1

k

，
解得，m=-n（3+4k²），
由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即4k2＜

1

n2

-3，要使k存在，只需

1

n2

-3＞0(n≠0)
∴n的取值范圍是(-

3

3

，0)∪(0，

3

3

)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系和橢圓性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，恰當(dāng)?shù)剡x取公式．