Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）設(shè)△AOB的外接圓圓心為E．
（1）若⊙E與直線(xiàn)CD相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，試問(wèn)這樣的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（﹣4，0）、D（0，4），

∴直線(xiàn)CD方程為 ．化簡(jiǎn)得x﹣y+4=0．

又∵△AOB的外接圓圓心為E（ ， ），半徑r= ．

∴由⊙E與直線(xiàn)CD相切，得圓心E到直線(xiàn)CD的距離等于半徑，

即 = ，即2 = ，解之得a=4

（2）解：C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|= =4 ，

設(shè)P到直線(xiàn)CD的距離為d，可得△PCD的面積S= |CD|×d=12，

即 ，解之得d=3 ．

因此，只須與CD平行且與CD距離為3 的兩條直線(xiàn)中的一條與⊙E相切，

另一條與⊙E相交．

∵由（1）的計(jì)算，可知圓心E到直線(xiàn)CD距離為2 ，

∴圓E的半徑為2 +3 =5 ，即r= =5 ，解得a=10．

即存在a=10，滿(mǎn)足使△PCD的面積等于12的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．

【解析】（1）根據(jù)△AOB為等腰直角三角形，算出它的圓心為E（ ， ），半徑r= ．求出直線(xiàn)CD的方程，根據(jù)⊙E與CD相切，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式建立關(guān)于a的等式，解之即可得出實(shí)數(shù)a的值；（2）由|CD|=4 與△PCD的面積等于12，算出P到直線(xiàn)CD的距離為d=3 ．若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，說(shuō)明與CD平行且與CD距離為3 的兩直線(xiàn)中的一條與⊙E相切且另一條與⊙E相交．由此算出⊙E的半徑，進(jìn)而算出實(shí)數(shù)a的值，得到滿(mǎn)足條件的⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程．