已知函數(shù)f(x)=lnx+2f′(1)x+m(m∈R),f(x)的導數(shù)為f′(x),且f(x)的圖象過點(1,-2).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+
ax
+2x
,若g(x)在[1,e]的最小值是2,求實數(shù)a的值.
分析:(1)求導函數(shù),令x=1,再利用f(x)的圖象過點(1,-2),代入,即可求得函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求導數(shù),確定導數(shù)的零點,再分類討論,利用g(x)在[1,e]的最小值是2,即可求實數(shù)a的值.
解答:解:(1)求導函數(shù)可得f′(x)=
1
x
+2f′(1)
∴f′(1)=1+2f′(1)
∴f′(1)=-1
∴f(x)=lnx-2x+m
∵f(x)的圖象過點(1,-2)
∴-2=ln1-2+m
∴m=0
∴f(x)=lnx-2x;
(2)g(x)=f(x)+
a
x
+2x=lnx+
a
x
(x>0)

g′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
=0
,∴x=a
①當a≤1時,函數(shù)g(x)在[1,e]上為增函數(shù)
∴gmin(x)=g(1)=a=2,與a≤1矛盾,故舍去;
②當1<a<e時,函數(shù)g(x)在(1,a)上有g(shù)′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,在(a,e)上有g(shù)′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增
∴gmin(x)=g(a)=lna+1=2,∴a=0這與1<a<e矛盾,故舍去;
③當a≥e時,g(x)在[1,e]上為減函數(shù),
gmin(x)=g(e)=1+
a
e
=2
,
∴a=e
綜上所述,a=e.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的解析式,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查分類討論的數(shù)學思想,正確分類是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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