Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線右支上，且滿足|PF₂|=|F₁F₂|，若直線PF₁與圓x²+y²=a²有公共點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為1＜e≤$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設直線PF₁與圓x²+y²=a²相切于點M，取PF₁的中點N，連接NF₂，由切線的性質和等腰三角形的三線合一，運用中位線定理和勾股定理，可得|PF₁|=4b，再由雙曲線的定義和a，b，c的關系及離心率公式，計算即可得到e，即可得出結論．

解答 解：設直線PF₁與圓x²+y²=a²相切于點M，
則|OM|=a，OM⊥PF₁，
取PF₁的中點N，連接NF₂，
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，則NF₂⊥PF₁，|NP|=|NF₁|，
由|NF₂|=2|OM|=2a，
則|NP|=2b，
即有|PF₁|=4b，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b²=（c+a）²，即4（c²-a²）=（c+a）²，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
則e=$\frac{5}{3}$．
∵直線PF₁與圓x²+y²=a²有公共點，
∴1＜e≤$\frac{5}{3}$，
故答案為：1＜e≤$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查離心率的求法，運用中位線定理和雙曲線的定義是解題的關鍵．