Question

5．已知球O的一個(gè)內(nèi)接三棱錐P-ABC，其中△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PC為球O的直徑，且PC=4，則此三棱錐的體積為（　　）

• A． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$
• C． $\frac{4}{3}\sqrt{6}$
• D． $\frac{2}{3}\sqrt{6}$

Answer 1

分析 取△ABC的中心E，則OE⊥平面ABC，所以P到平面ABC的距離h=2OE，利用正三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OE，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 解：設(shè)△ABC的中心為E，AB中點(diǎn)為D，連結(jié)OE，則OE⊥平面ABC，
∴OE⊥CE．
∵O是PC的中點(diǎn)，∴P到平面ABC的距離h=2OE．
由正三角形的性質(zhì)可得CD=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{2}{3}CD$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴h=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴三棱錐的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．