Question

（2012•肇慶二模）若對于定義在R上的函數(shù)f（x），其函數(shù)圖象是連續(xù)的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實數(shù)x成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數(shù)”．下列關(guān)于“λ-同伴函數(shù)”的敘述中正確的是（　�。�

• A．“

  1

  2

  -同伴函數(shù)”至少有一個零點
• B．f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”
• C．f（x）=log₂x是一個“λ-同伴函數(shù)”
• D．f（x）=0是唯一一個常值“λ-同伴函數(shù)”

Answer 1

分析：令x=0，可得f(

1

2

)=-

1

2

f(0)．若f（0）=0，f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f(

1

2

)•f(0)=-

1

2

(f(0))2＜0．可得f（x）在(0，

1

2

)上必有實根，可判斷A
假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷B
因為f（x）=log₂x的定義域不是R可判斷C
設(shè)f（x）=C則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，可判斷D

解答：解：令x=0，得f(

1

2

)+

1

2

f(0)=0．所以f(

1

2

)=-

1

2

f(0)．若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f(

1

2

)•f(0)=-

1

2

(f(0))2＜0．又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在(0，

1

2

)上必有實數(shù)根．因此任意的“

1

2

-同伴函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

-同伴函數(shù)”至少有一個零點．：A正確，
用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數(shù)”．B錯誤
因為f（x）=log₂x的定義域不是R．C錯誤
設(shè)f（x）=C是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數(shù)”．D錯誤，

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．