Question

(本小題滿分12分)如圖1所示，在中，，，，為的平分線，點在線段上，.如圖2所示，將沿折起，使得平面平面，連結(jié)，設點是的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面，其中為直線與平面的交點，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）見解析；

（2）V= ×S_△DEC×h= × ×S_△ABC×h= × × ×3×3× =

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面位置關(guān)系的運用，以及錐體體積的運算。

（1）取AC的中點P，連接DP，證明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面BCD；

（2）說明G為EC的中點，求出B到DC的距離h，說明到DC的距離h就是三棱錐B-DEG的高．利用S△DEC=×S△ABC，

解：（1）取AC的中點P，連接DP，因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP= 3 ，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又點E在線段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD；

（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，G為EC的中點，此時AE=EG=GC=2，

因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，

所以BD= 3 ，DC²= 3²+(  )² =2，

所以B到DC的距離h=BD•BC DC =  =，

因為平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，

所以B到DC的距離h就是三棱錐B-DEG的高．

三棱錐B-DEG的體積：V= ×S_△DEC×h= × ×S_△ABC×h= × × ×3×3× =