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20.如圖,△ABC中,O是BC的中點(diǎn),AB=AC,AO=2OC=2.將△BAO沿AO折起,使B點(diǎn)與圖中B'點(diǎn)重合.
(1)求證:AO⊥平面B'OC;
(2)當(dāng)三棱錐B'-AOC的體積取最大時(shí),求二面角A-B'C-O的余弦值;
(3)在(2)的條件下,試問在線段B'A上是否存在一點(diǎn)P,使CP與平面B'OA所成的角的正弦值為53?證明你的結(jié)論,并求AP的長(zhǎng).

分析 (1)證明AO⊥OB',AO⊥OC,然后證明AO⊥平面B'OC;
(2)在平面B'OC內(nèi),作B'D⊥OC于點(diǎn)D,當(dāng)D與O重合時(shí),三棱錐B'-AOC的體積最大,過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H,連AH,說(shuō)明∠AHO即為二面角A-B'C-O的平面角.在三角形AOH中求解二面角A-B1C-O的余弦值.
(3)連接OP,說(shuō)明OC⊥平面B'OA,CP與平面B'OA所成的角為∠CPO,證明CP⊥AB′,然后求解即可.

解答 解:(1)證明:∵AB=AC且O是BC中點(diǎn),
∴AO⊥BC即AO⊥OB',AO⊥OC,
又∵OB'∩OC=O,∴AO⊥平面B'OC;…(3分)
(2)在平面B'OC內(nèi),作B'D⊥OC于點(diǎn)D,
則由(Ⅰ)可知B'D⊥OA
又OC∩OA=O,∴B'D⊥平面OAC,
即B'D是三棱錐B'-AOC的高,
又B'D≤B'O,所以當(dāng)D與O重合時(shí),三棱錐B'-AOC的體積最大,
過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H,連AH,
由(Ⅰ)知AO⊥平面B'OC,
又B'C⊆平面B'OC,∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O,∴B'C⊥平面AOH,
∴B'C⊥AH∴∠AHO即為二面角A-B'C-O的平面角.
RtAOHAO=2OH=22,∴AH=322,
cosAHO=OHAH=13,
故二面角A-B1C-O的余弦值為13…(7分)
(3)連接OP,在(2)的條件下,易證OC⊥平面B'OA,
∴CP與平面B'OA所成的角為∠CPO,
sinCPO=OCCP=53CP=35
又在△ACB′中,sin∠A{B^'}C=\frac{{\frac{3}{{\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{3}{{\sqrt{10}}}=\frac{CP}{{\sqrt{2}}},
∴CP⊥AB′,
{B^'}P=\sqrt{{{({\sqrt{2}})}^2}-C{P^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}
AP=455…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直,二面角的平面鏡以及直線與平面所成角,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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