Question

一個函數f（x），如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．
（Ⅰ）判斷，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“保三角形函數”，哪些不是，并說明理由；
（Ⅱ）如果g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），證明g（x）不是“保三角形函數”；
（Ⅲ）若函數F（x）=sinx，x∈（0，A）是“保三角形函數”，求A的最大值．
（可以利用公式）

Answer 1

【答案】分析：（1）任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊（2）要想一個函數不是“保三角形函數”關鍵是根據題中條件g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），舉出反例．（3）則是要利用“保三角形函數”的概念，求A的最值，觀察到Sinx的最大值為1，且Sin=，故可猜想可能為分類討論的分類標準，所以解答過程可通過對x與的關系進行分類討論，最后給出結論．
解答：解：（I）f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數”，f₃（x）不是“保三角形函數”．
任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，
由于，所以f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數”．
對于f₃（x），3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長，故f₃（x）不是“保三角形函數”．
（II）設T＞0為g（x）的一個周期，由于其值域為（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整數，可知λT+m，λT+m，n這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作為任何一個三角形的三邊長．
故g（x）不是“保三角形函數”．
（III）A的最大值為
①若，
取，顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但不能作為任何一個三角形的三邊長，
故F（x）不是“保三角形函數”．
②當時，對任意三角形的三邊a，b，c，若，則分類討論如下：
（1）a+b+c≥2π，
此時，同理，，
∴，故，．
同理可證其余兩式．
∴sina，sinb，sinc可作為某個三角形的三邊長．
（2）a+b+c＜2π
此時，，可得如下兩種情況：時，由于a+b＞c，所以，．
由sinx在上的單調性可得；時，，
同樣，由sinx在上的單調性可得；
總之，．
又由及余弦函數在（0，π）上單調遞減，
得，
∴．
同理可證其余兩式，所以sina，sinb，sinc也是某個三角形的三邊長．
故時，F（x）是“保三角形函數”．
綜上，A的最大值為．
點評：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論推理．三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P．要想判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可．