已知直線，圓O：＝36（O為坐標原點），橢圓C：＝1（a＞b＞0）的離心率為e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等。

（I）求橢圓C的方程；（II）過點（3,0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點設（O是坐標原點），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對角線長相等？若存在　，求出直線l的方程，若不存在，說明理由。

解：（Ⅰ）∵圓心O到直線的距離為，

直線l被圓O截得的弦長2a=,∴a=2,

又，解得，

∴橢圓C的方程為：;                              ………4分

（Ⅱ）∵,∴四邊形OASB是平行四邊形．

假設存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對角線長相等,

則四邊形OASB為矩形，因此有,

設A（x1，y2），B（x2，y2），則．                   ………7分

直線l的斜率顯然存在，設過點（3,0）的直線l方程為：，

由，得，     

由，即．

………9分

                ,

由得：，滿足Δ>0．      ………12分

故存在這樣的直線l,其方程為．               ………13分

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已知直線x＋2y－3＝0與圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求實數(shù)m的值．

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(2)P是圓O上在第一象限內(nèi)的點，過P且與圓O相切的直線l與C的右支交于A、B兩點，△AOB的面積為，求直線l的方程．

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A．（幾何證明選講選做題）

如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點B，AC交圓O于點P，E為線段BC的中點．求證：OP⊥PE．

B．（矩陣與變換選做題）

已知M＝，N＝，設曲線y＝sinx在矩陣MN對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）

在平面直角坐標系xOy中，直線m的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；在以O為極點、射線Ox為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsinθ＝8cosθ．若直線m與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長．

D．（不等式選做題）

設x，y均為正數(shù)，且x＞y，求證：2x＋≥2y＋3．

 

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