Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+4．
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），求函數(shù)在x∈[-2，2]的值域；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+1的圖象上方，試確定實數(shù)a的范圍．
（3）若方程f（x）=0在[-1，1]上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,函數(shù)的值域,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知對稱軸-a=

1+x+1-x

2

=1，由此能求出函數(shù)在x∈[-2，2]的值域．
（2）由已知條件推導(dǎo)出x²+（2a-2）x+3＞0在區(qū)間[-1，1]恒成立，由此能求出實數(shù)a的范圍．
（3）f（x）=x²+2ax+4=0在[-1，1]上有解，等價于△=0或f（-1）f（1）≤0，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2ax+4．
∵函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），
∴對稱軸-a=

1+x+1-x

2

=1，解得a=-1，
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，x∈[-2，2]
∴f（x）_min=f（1）=3，f（x）_max=f（-2）=12，
∴函數(shù)在x∈[-2，2]的值域為[3，12]．（4分）
（2）∵在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+1的圖象上方，
∴x²+2ax+4＞2x+1在區(qū)間[-1，1]恒成立，
∴①當(dāng)x=0時，等式成立，
②當(dāng)1≥x＞0時，有
a＞

-x2+2x-3

2x

=1-（

x

2

+

3

2x

）
⇒a＞1-

3

③當(dāng)-1≤a＜0時，有
a＜

-x2+2x-3

2x

=1-（

x

2

+

3

2x

）
⇒a＜1+

3

∴解得1-

3

＜a＜1+

3

，
∴實數(shù)a的范圍是（1-

3

，1+

3

）．（8分）
（3）∵f（x）=x²+2ax+4=0在[-1，1]上有解，
∴a∈[-1，1]且f（-a）＜0，或f（-1）f（1）≤0，
當(dāng)a∈[-1，1]，時，f（-a）=4-a²＞0，不符合題意，無解．
f（-1）f（1）≤0時，
（1+2a+4）（1-2a+4）≤0，即（2a+5）（2a-5）≥0．
解得a≥

5

2

或a≤-

5

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍（-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞）．（14分）

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．