Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-m|-|x-2|．
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[-4，4]，求實數(shù)m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x-4|的解集為M，且[2，4]⊆M，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不等式的性質得：||x-m|-|x-2||≤|x-m-x+2|=|m-2|，即|m-2|=4，解得實數(shù)m的值；
（2）若不等式f（x）≥|x-4|的解集M=（-∞，m-2]或[m+2，+∞），結合[2，4]⊆M，可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由不等式的性質得：||x-m|-|x-2||≤|x-m-x+2|=|m-2|
因為函數(shù)f（x）的值域為[-4，4]，
所以|m-2|=4，
即m-2=-4或m-2=4
所以實數(shù)m=-2或6．…（5分）
（2）f（x）≥|x-4|，即|x-m|-|x-2|≥|x-4|
當2≤x≤4時，|x-m|≥|x-4|+|x-2|?|x-m|≥-x+4+x-2=2，|x-m|≥2，
解得：x≤m-2或x≥m+2，
即原不等式的解集M=（-∞，m-2]或M=[m+2，+∞），
∵[2，4]⊆M，
∴m+2≤2⇒m≤0或m-2≥4⇒m≥6
所以m的取值范圍是（-∞，0]∪[6，+∞）． …（10分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，絕對值三角不等式，函數(shù)的值域，集合的包含關系，難度中檔．