Question

已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=-x+b與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與y軸負半軸相交，記△AOB面積為S，求

S

|b|

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）令線段AB中點坐標為P（x₀，y₀），由已知條件推導(dǎo)出|y0|=

|AB|

2

，橢圓弦長公式推導(dǎo)出2

2

1+b

=2，由此能求出圓的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4

2

1+b

，點O到直線AB的距離d=

|b|

2

，由此能求出

S

|b|

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）令線段AB中點坐標為P（x₀，y₀），
∵以AB為直徑的圓與x軸相切，∴|y0|=

|AB|

2

，
由y²=4x，y=-x+b，得y²+4y-4b=0，
由△=16+16b＞0，得b＞-1，
y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4b，x₁+x₂=2b-（y₁+y₂），
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

(y1-y2)2

=

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

2

16+16b

=4

2

1+b

y0=

y1+y2

2

=-2，
∴2

2

1+b

=2，
解得b=-

1

2

x0= x1+x2 2 =b+2= 3 2

，
∴所求圓的方程為(x-

3

2

)2+(y+2)2=4．（ 8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4

2

1+b

，
點O到直線AB的距離d=

|b|

2

，S=

1

2

×4

2

1+b

×

|b|

2

=2

1+b

|b|，

S

|b|

=2

(1+b)(-b)

=2

-(b+ 1 2 )2+ 1 4

，
∵-1＜b＜0，∴當b=-

1

2

時，

S

|b|

取最大值1．（15分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查

S

|b|

的最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的弦長公式的合理運用．