Question

已知曲線C：y=

x3

3

-4x+

2

3

（I）求在點(diǎn)M（1，-3）處曲線C的切線方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)N（1，n）作曲線C的切線有三條，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先將過點(diǎn)N（1，n）可作曲線y=f（x）的三條切線轉(zhuǎn)化為：方程2x₀³-3x₀²+10+3n=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記g（x）=2x₀³-3x₀²+10+3n，下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而求得n的范圍．

解答：解：（I）f'（x）=x²-4，f'（1）=-3，（2分）
∴曲線y=f（x）在M（1，-3）處的切線方程為y+3=-3（x-1），即3x+y=0（4分）
（II）過點(diǎn)N（1，n）向曲線y=f（x）作切線，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
則y₀=

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

，k=f'（x₀）=x₀²-4．
則切線方程為y-（

1

3

x₀³-4x₀+

2

3

）=（x₀²-4）（x-x₀）（6分）
將N（1，n）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+10+3n=0．
∵過點(diǎn)N（1，n）可作曲線y=f（x）的三條切線
∴方程2x₀³-3x₀²+10+3n=0（*）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根、（8分）
記g（x）=2x₀³-3x₀²+10+3n，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1），
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
則x，g'（x），g（x）的變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

當(dāng)x=0，g（x）有極大值10+3n；x=1，g（x）有極小值9+3n，（12分）
由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

10+3n＞0 9+3n＜0

，-

10

3

＜n＜-3時(shí)，
函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)、
此時(shí)過點(diǎn)N可作曲線y=f（x）的三條不同切線．故m的范圍是(-

10

3

，-3)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．