Question

17．已知點P是橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}$=1（xy≠0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左，右焦點，O為原點，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點，且F₁M⊥MP，則OM的長度取值范圍（　�。�

• A． [0，3）
• B． $（{0，2\sqrt{2}}）$
• C． $[{2\sqrt{2}，3}）$
• D． [0，4）

Answer 1

分析 延長PF₂、F₁M，交與N點，連接OM，利用等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理和橢圓的定義，證出|OM|=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||．再利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，化簡得||PF₁|-|PF₂||=$\sqrt{2}$|x₀|，利用橢圓上點橫坐標的范圍結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可算出OM的長度取值范圍．

解答 解：如圖，延長PF₂、F₁M，交與N點，連接OM，

∵PM是∠F₁PF₂平分線，F(xiàn)₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點，
∵O為F₁F₂中點，M為F₁N中點
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$||PN|-|PF₂||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
設(shè)P點坐標為（x₀，y₀），
∵在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}$=1中，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由圓錐曲線的第二定義，得|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=$\sqrt{2}$|x₀|
∵P點在橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}$=1上，
∴|x₀|∈[0，4]，
又∵x≠0，y≠0，可得|x₀|∈（0，4），
∴|OM|∈（0，2$\sqrt{2}$），
∴OM的長度取值范圍是（0，2$\sqrt{2}$）．
故答案選：B．

點評 本題求兩點間的距離的取值范圍，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．