Question

我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多性質(zhì)可以類比，現(xiàn)在給出一個命題：若數(shù)列{a_n}、{b_n}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項的和分別是S_n，T_n，則

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

（1）請你證明上述命題；
（2）請你就數(shù)列{a_n}、{b_n}是兩個各項均為正的等比數(shù)列，類比上述結(jié)論，提出正確的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q及等差數(shù)列的前n項和公式即可得到證明；
（2）等比數(shù)列通常與等差數(shù)列類比，加法類比為乘法，平面中的面積類比為體積，算術(shù)平均數(shù)類比為幾何平均數(shù)，本題是一個加法類比為乘法，算術(shù)平均數(shù)類比為幾何平均數(shù)．

解答：解：（1）證明：

在等差數(shù)列{an}中，an= a1+a2n-1 2 (n∈N*) 那么對于等差數(shù)列{an}、{bn}有： an bn = 1 2 (a1+a2n-1) 1 2 (b1+b2n-1) = 1 2 (a1+a2n-1)(2n-1) 1 2 (b1+b2n-1)(2n-1) = S2n-1 T2n-1

（2）猜想：數(shù)列{a_n}、{b_n}是兩個各項均為正的等比數(shù)列，它們的前n項的積分別是

Xn，Yn，則( an bn ) 2n-1= X2n-1 Y2n-1 證明：在等比數(shù)列{an}中， a n 2 =a1a2n-1=a2a2n-2=…(n∈N*) a n 2n-1 =a1a2a3…a2n-1(n∈N*) 那么對于等比數(shù)列{an}、{bn}有 ( an bn )2n-1= a1a2a3…a2n-1 b1b2b3…b2n-1 = X2n-1 Y2n-1

點評：在解題過程中，尋找解題的突破口，往往離不開類比聯(lián)想，我們在解題中，要進一步通過概念類比、性質(zhì)類比、結(jié)構(gòu)類比以及方法類比等思維訓練途徑，來提高類比推理的能力，培養(yǎng)探究創(chuàng)新精神．