如圖，四棱錐P―ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD.底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.點(diǎn)E在棱PA上，且PE=2EA.

（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角；

（Ⅱ）求證：PC∥平面EBD；

（Ⅲ）求二面角A―BE―D的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）.

解法一：

（Ⅰ）∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，∴CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，∴BC=6

取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)PF，則AF//CD.

∴異面直線PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF

在△PAF中，

即異面直線PA和CD所成的角是

（Ⅱ）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，

（Ⅲ）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.

又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.

作AE⊥BE，垂足為H，連結(jié)DH，則DH⊥BE，

∴∠AHD是二面角A―BE―D的平面角.……10分

解法二：

（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系B―xyz.

（Ⅱ）設(shè)平面BED的法向量為

故，從而

又

（Ⅲ）平面BED的法向量為

又因?yàn)槠矫鍭BE的法向量

 所以

所以，二面角A―BE―D的大小數(shù)點(diǎn)為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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