Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上．

（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（）是否存在斜率為的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，時(shí)，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在

【解析】分析：（1）由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)在橢圓上可求得橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程。(2) 設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，設(shè)直線MN的方程為，與橢圓組方程組結(jié)合韋達(dá)定理，由，知四邊形為平行四邊形，，得，由，可得，所以不存在Q點(diǎn)在橢圓上。

詳解：（）設(shè)橢圓的焦距為，則，

∵在橢圓上，

∴，

∴，，

故橢圓的方程為．

（）假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，，，的中點(diǎn)為，

由，消去，得，

∴，且，

故且，

由，知四邊形為平行四邊形，

而為線段的中點(diǎn)，因此為線段的中點(diǎn)，

∴，得，

又，可得，

∴點(diǎn)不在橢圓上，

故不存在滿足題意的直線．