Question

已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，-e＜x＜0，f（x）=-x-In（-x），g（x）=-
（I ）求f（x）的最小值：
（II）證明：|f（x）|＞g（x）+．

Answer 1

【答案】分析：（I ）準確求解該函數(shù)的導函數(shù)是解決本題的關鍵，要注意定義域意識和復合函數(shù)求導的思想，通過研究函數(shù)的單調(diào)性達到解決本題的目的；
（II）對所要證明的不等式進行放縮轉化是解決本題的關鍵，注意通過函數(shù)的最值進行轉化與放縮，求函數(shù)最值時注意導數(shù)的工具作用．
解答：解：（I ）∵f（x）=-x-lnx，f′（x）=-1-=；
當-e＜x＜-1時，f′（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，當-1＜x＜0時，f′（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)；所以，當-e＜x＜0時，f（x）的最小值為f（-1）=1．
（II）證明：當-e＜x＜0時，f（x）的最小值為1，當-e＜x＜0時，f（x）≥1，
又g′（x）=，
故當-e＜x＜0時，g′（x）＜0，即g（x）在（-e，0）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（-e）=＜
所以，當-e＜x＜0時，|f（x）|=f（x）≥1=＞g（x）+．
點評：本題考查導數(shù)研究函數(shù)最值的問題，屬于小綜合題，求函數(shù)最值時要注意把握函數(shù)的單調(diào)性的運用，研究函數(shù)單調(diào)性時要注意發(fā)揮導數(shù)的工具作用．考查學生放縮法證明不等式的意識，含絕對值問題的處理方法要注意說明絕對值里面數(shù)的正負．