給出下列命題:
①“x=2”是“x2=4”的充分不必要條件;
②設A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若A∩B=∅,則實數(shù)t的取值范圍為[3,+∞);
③若log2x+logx2≥2,則x>1;
④存在x,y∈R,使sin(x-y)=sinx-siny;
⑤若命題P:對任意的x∈R,函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)
的遞減區(qū)間為[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z)
,命題q:存在x∈R,使tanx=1,則命題“p且q”是真命題.
其中真命題的序號為
①③④
①③④
分析:根據(jù)充要條件的定義,可以判斷①的真假;
解絕對值不等式求出A,根據(jù)二次函數(shù)的性質可以求出B,進而根據(jù)集合交集的定義,可判斷②的真假;
根據(jù)對數(shù)的運算性質及基本不等式,可以判斷③的真假;
令x=y=0時,可判斷④的真假;
根據(jù)余弦函數(shù)的單調性,可以判斷⑤的真假.
解答:解:當“x=2”時,“x2=4”成立,當“x2=4”時,“x=±2”故“x=2”不一定成立,即①“x=2”是“x2=4”的充分不必要條件正確;
A={x||x|≤3}=[-3,3],B={y|y=-x2+t}=(-∞,t],若A∩B=φ,則實數(shù)t的取值范圍(-∞,-3),故②錯誤;
當x>1時,log2x>0,logx2>0,log2x+logx2≥2
log2x•logx2
=2,但0<x<1時,log2x<0,logx2<0,log2x+logx2≤-2
log2x•logx2
=-2,
故log2x+logx2≥2時,x>1,即③正確;
當x=y=0時,sin(x-y)=sin(0)=0=sin0-sin0=0,故④正確;
命題P:由2kπ≤2x-
π
3
≤2kπ+π(k∈Z),得x∈[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z)
,故對任意的x∈R,函數(shù)y=cos(2x-
π
3
)
的遞減區(qū)間為[kπ-
π
12
,kπ+
12
](k∈Z)
是假命題,則命題“p且q”是假命題,故⑤錯誤
故答案為:①③④
點評:本題考查的知識點是命題的真假判斷,充要條件,不等式的解法,集合的運算,對數(shù)的運算性質,基本不等式,正弦函數(shù)的定義,及余弦函數(shù)的單調性,熟練掌握上述基本知識點是解答的關鍵.
練習冊系列答案
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x2
15-k
+
y2
k-9
=1
表示橢圓”的充要條件.其中真命題的個數(shù)是
 
個.

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(
x
+
1
x
)6
的展開式中的常數(shù)項是20;
②函數(shù)y=sinx(x∈[-π,π])圖象與x軸圍成的圖形的面積是S
=∫
π
sinxdx
;
③若ξ~N(1,σ2),且P(0≤ξ≤1)=0.3,則P(ξ≥2)=0.2.
其中真命題的序號是
①③
①③
(寫出所有正確命題的編號).

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①存在x∈(0,
π
2
)
,使sinx+cosx=
1
3
;
②存在區(qū)間(a,b),使y=cosx為減函數(shù)而sinx<0;
③y=tanx在其定義域內為增函數(shù);
y=cos2x+sin(
π
2
-x)
既有最大值和最小值,又是偶函數(shù);
y=sin|2x+
π
6
|
的最小正周期為π.
其中錯誤的命題為
①②③⑤
①②③⑤
(把所有符合要求的命題序號都填上)

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