Question

深圳科學(xué)高中致力于培養(yǎng)以科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)見(jiàn)長(zhǎng)的創(chuàng)新型高中學(xué)生，“工程技術(shù)”專用教室是學(xué)校師生共建的創(chuàng)造者的平臺(tái)，該教室內(nèi)某設(shè)備D價(jià)值24萬(wàn)元，D的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第2年到第5年，每年初D的價(jià)值比上年初減少2萬(wàn)元；從第6年開(kāi)始，每年初D的價(jià)值為上年初的25%，
（1）求第5年初D的價(jià)值a₅；
（2）求第n年初D的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（3）若設(shè)備D的價(jià)值a_n大于2萬(wàn)元，則D可繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)D更新，問(wèn)：須在哪一年初對(duì)D更新？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≤5時(shí)，D的價(jià)值組成一個(gè)以24為首項(xiàng)、-2為公差的等差數(shù)列，可求第5年初D的價(jià)值a₅；
（2）通過(guò)對(duì)n的分段討論，得到一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出第n年初D的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（3）利用分段函數(shù)，建立不等式，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題可知，當(dāng)n≤5時(shí)，D的價(jià)值組成一個(gè)以24為首項(xiàng)、-2為公差的等差數(shù)列，
所以a₅=24-4×2=16（萬(wàn)元）-----------------（4分）
（2）當(dāng)n≤5時(shí)，a_n=24-2（n-1）=-2n+26---------（6分）
由題可知，當(dāng)n≥5時(shí)，D的價(jià)值組成一個(gè)以16為首項(xiàng)、

1

4

為公比的等比數(shù)列，
所以當(dāng)n≤5時(shí)，an=a5•(

1

4

)n-5=16×(

1

4

)n-5=47-n---------（8分）
所以an=

-2n+26，(1≤n≤5，n∈N*) 47-n．(n≥6，n∈N*)

-----------（9分）
（3）當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＞2恒成立；
當(dāng)n≤5時(shí)，由 4^7-n≤2得n＞

13

2

=6

1

2

----------（13分）
答：須在第7年初對(duì)D更新．-----------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、考查分段函數(shù)，屬于中檔題．