Question

已知橢圓的上頂點為A，左右焦點分別為F₁、F₂，直線AF₂與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓C內的動點P，使|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比數(shù)列（O為坐標原點，）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出圓的標準方程以及直線AF₂與的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出對應的橢圓的方程；
（Ⅱ）先利用|PF₁|，|PO|，|PF₂|成等比數(shù)列求出點P的坐標滿足的等量關系，再代入借助于點P在橢圓內就可求出的取值范圍．
解答：解：（1）將圓M：x²+y²-6x-2y+7=0化為標準方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑為r=，（2分）
由得直線AF₂：+y=1，即x+cy-c=0（3分）
直線AF₂與圓M：相切得（舍去）（5分）
當c=時，a²=c²+1=3，故橢圓C的方程為=1（6分）
（2）由（1）得，，設P（x，y），
由題意得|PO|²=|PF₁||PF₂|，即=•
化簡得：x²-y²=1   （9分）
-3（10分）
∵點P為橢圓內的動點，∴1≤x²＜（12分）
∴-1≤＜0（13分）
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應方程的判別式為0求解．