Question

已知

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ存在，那么x的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，1）
• B、[0，1）
• C、（-1，0）
• D、（-1，0]

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)極限的概念，及指數(shù)函數(shù)圖象特點(diǎn)，很容易知道應(yīng)該這樣對(duì)x限制：-1＜2x+1≤1，解出即可．

解答： 解：（1）若0＜2x+1＜1，即-

1

2

＜x＜0時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=a^x，在0＜a＜1時(shí)，隨著x的增大，函數(shù)圖象無限接近0，所以對(duì)于

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（2）若2x+1=1，即x=0時(shí)，則

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=1；
（3）若2x+1=0，即x=-

1

2

時(shí)，則

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（4）若2x+1＞1，則根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=a^x，在a＞1時(shí)，隨x的增大，函數(shù)圖象向上無限延伸，函數(shù)值無限增大，所以，此時(shí)不存在極限；
（5）若-1＜2x+1＜0，即-1＜x＜-

1

2

時(shí)，若n無限增大趨向一個(gè)偶數(shù)，則

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0，n無限增大趨向一個(gè)奇數(shù)時(shí)，

lim

n→∞

（2x+1）ⁿ=0；
（6）若2x+1=-1，（2x+1）ⁿ是1和-1間隔出現(xiàn)的，所以不存在．
（7）若2x+1＜-1，n趨于無窮大的偶數(shù)時(shí)，（2x+1）ⁿ趨于正無窮大，n趨于無窮大的奇數(shù)時(shí)，（2x+1）ⁿ趨于負(fù)無窮大，所以不存在極限．
綜上可得，x的取值范圍是（-1，0]，
故答案是D．

點(diǎn)評(píng)：考察極限的概念，和指數(shù)函數(shù)圖象特點(diǎn)．