設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象是曲線C1,曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱.將曲線C2向右平移1個(gè)單位得到曲線C3,已知曲線C3是函數(shù)y=log2x的圖象.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)設(shè)an=nf(x)(n∈N*),求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,并求最小的正實(shí)數(shù)t,使Sn<tan對(duì)任意n∈N*都成立.
【答案】分析:(I)根據(jù)函數(shù)的圖象的平移法則可求曲線C2的圖象,由曲線C2與曲線C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,即曲線C2是函數(shù)y=log2(x+1)的反函數(shù)可求
(II)由題設(shè):an=n×2n-n,,利用分組求和及錯(cuò)位相減可求Sn,使Sn<tan對(duì)任意n∈N*都成立.即Sn-tan<0恒成立,
解答:解:(I)由題意知,曲線C3向左平移1個(gè)單位得到曲線C2,∴曲線C2是函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.…(2分)
曲線C2與曲線C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,∴曲線C2是函數(shù)y=log2(x+1)的反函數(shù)的圖象y=log2(x+1)的反函數(shù)為y=2x-1
∴f(x)=2x-1…(4分)
(II)由題設(shè):an=n×2n-n,n∈N*Sn=(1×21-1)+(2×22-2)+(3×23-3)+…+(n•2n-n)=(1×21+2×22+3×2
2+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)…(6分)==
2Sn=(1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1)-n(n+1)②
由②-①得,
,==…(8分)
當(dāng)=S1-2a1=-1<0,S2-2a2=-5<0,S3-2a3=-14<0
當(dāng)n≥4時(shí),∴當(dāng)t=2時(shí),對(duì)一切n∈N*,Sn<2an恒成立.
當(dāng)0<t<2時(shí),=
,則當(dāng)n大于比M大的正整數(shù)時(shí),
也就證明當(dāng)t∈(0,2)時(shí),存在正整數(shù)n,使得Sn>tan
也就是說(shuō)當(dāng)t∈(0,2)時(shí),Sn≤tan不可能對(duì)一切n∈N*都成立.∴t的最小值為2.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)的圖象的平移變換為切入點(diǎn),考查了互為反函數(shù)的函數(shù)解析式的求解,數(shù)列的求和的錯(cuò)位相減求和的應(yīng)用,解答的難點(diǎn)在于試題的計(jì)算及邏輯推理
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設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,并且滿足f(x+y)=f(x)+f(y),f(
13
)=1
,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x取值范圍.

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1
f(
-an
2an+1
)
(n∈N*
(Ⅰ)求證:y=f(x)是R上的減函數(shù);          
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若不等式
k
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
-
1
2n+1
≤0
對(duì)一切n∈N*均成立,求k的最大值.

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k,f(x)≤k
f(x),f(x)>k
,則當(dāng)函數(shù)f(x)=
1
x
,k=1
時(shí),函數(shù)fk(x)的圖象與直線x=
1
4
,x=2,y=0圍成的圖形的面積為( 。

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2
2

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