Question

已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，且g（x）=f（

π

2

+x），則f（2014π+x）g（

π

2

+x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷出f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），即f（x）=f（π-x），f（x+π）=f（-x）=-f（x），可判斷：f（x+2π）=f（x）得出周期為2π，把f（2014π+x）+g（

π

2

+x）=f（x）f（π+x）=f（x）[-f（x）]=-f（x）f（x）求解即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，g（-x）=g（x），
∵g（x）=f（

π

2

+x），
∴f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），
即f（x）=f（π-x），
f（x+π）=f（-x）=-f（x）
f（x+2π）=-f（x+π）=f（x）
∴f（x）的周期為2π．
∴f（2014π+x）g（

π

2

+x）=f（x）f（π+x）=f（x）[-f（x）]=-f（x）f（x）=-f²（x）

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，性質(zhì)與代數(shù)式的聯(lián)系，屬于中檔題．