分析:設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx+c(a≠0)
(I)由圖象知函數(shù)的圖象過(0,),(8,0),最大值為16,代入可求a,b,c,從而可求函數(shù)f(x)的解析式
(Ⅱ)由f(x)=-(x-4)
2+16,要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最大值h(t),需要考查對(duì)稱軸x=4與區(qū)間[t,t+4]的位置關(guān)系:分t>4,t≤4≤t+2,t+2<4分別求解函數(shù)的最大值
(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)=x
2-8x+6lnx+m.要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)φ(x)=x
2-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得必須且只須
或
,從而可求m的范圍
解答:解:設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx+c(a≠0)
(I)由圖象知:
解之得:,
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-x
2+8x…(4分)
(Ⅱ)∵f(x)=-(x-4)
2+16,
∴當(dāng)t>4時(shí),f(x)的最大值是f(t)=-(t-4)
2+16;
當(dāng)t≤4≤t+2,即2≤t≤4時(shí),f(t)的最大值是f(4)=16;
當(dāng)t+2<4,即t<2時(shí),f(x)的最大值是f(t+2)=-(t-2)
2+16.∴
h(t)= | -(t-2)2+16;t<2 | 16,2≤t≤4 | -(t-4)2+16,t>4 |
| |
…(8分)
(Ⅲ)令φ(x)=g(x)-f(x),則g(x)-f(x)=x
2-8x+6lnx+m.
因?yàn)閤>0,要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn),則函數(shù)φ(x)=x
2-8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
∴
?′(x)=2x-8+==(x>0)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù)
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù)
當(dāng)x=1或x=3時(shí),φ′(x)=0
∴φ(x)極大值為φ(1)=m-7;φ(x)極小值為φ(3)=m+6ln3-15…(12分)
又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),φ(x)→-∞
當(dāng)x→+∞時(shí),φ(x)→+∞
所以要使φ(x)=0有且僅有兩個(gè)不同的正根,只須
或
即
或∴m=7或m=15-6ln3.
∴當(dāng)m=7或m=15-6ln3.時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).…(14分)