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9.已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=|t(x+4x)-5|,其中常數(shù)t>0.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),試求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)t=1時,方程f(x)=m有四個不相等的實根x1,x2,x3,x4
①求四根之積x1x2x3x4的值;
②在[1,4]上是否存在實數(shù)a,b(a<b),使得f(x)在[a,b]上單調(diào)且取值范圍為[ma,mb]?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)設(shè)h(x)=t(x+4x)結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),且h(x)≥4t,要使函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),只需4t-5≥0,解得:實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)t=1時,由f(x)=m得|(x+4x)-5|=m,即(x+4x)-5=m,或(x+4x)-5=-m,即x2-(m+5)x+4=0,或x2+(m+5)x+4=0,
①由韋達(dá)定理,可得四根之積x1x2x3x4的值;
②f(x)在區(qū)間(0,1),(1,2),(2,4),(4,+∞) 上均為單調(diào)函數(shù),(1)當(dāng)[a,b]⊆(1,2]時,f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則{fa=mafb=mb;(2)當(dāng)[a,b]⊆(2,4]時,f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則{fa=mbfb=ma;綜合討論結(jié)果,可得m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)h(x)=t(x+4x
∵t>0,
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),且h(x)≥4t,
要使函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(0,2),(2,+∞)上單調(diào),
只需4t-5≥0,
∴t≥54 …(5分)
(Ⅱ) ①當(dāng)t=1 時,由f(x)=m得|(x+4x)-5|=m,
∴(x+4x)-5=m,或(x+4x)-5=-m,
即x2-(m+5)x+4=0,或x2+(m+5)x+4=0
∵x1,x2,x3,x4是方程f(x)=m的四個不相等的實根,
∴x1x2x3x4=4×4=16…(10分)

②f(x)在區(qū)間(0,1),(1,2),(2,4),(4,+∞) 上均為單調(diào)函數(shù)
(1)當(dāng)[a,b]⊆(1,2]時,f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則{fa=mafb=mb
即m=4a2+5a1在a∈(1,2]時,有兩個不等實根
而令1a=t[121,則4a2+5a1=φ(t)=-4(t-582+916,
則φ(t)=-4(t-582+916=m在[12,1)上有兩個根,
由當(dāng)t=58時,函數(shù)φ(t)取最大值916,
當(dāng)t=12時,φ(12)=12,當(dāng)t=1時,φ(1)=0,
12m916…(13分)
(2)當(dāng)[a,b]⊆(2,4]時,f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則{fa=mbfb=ma 兩式相除得(a-b)(a+b-5)=0
∴a+b=5,
∴b=5-a>a,
∴2<a<52,
由-a-4a+5=mb得:m=5a4a5a=1+4a522254∈(13,925),
綜上,m的取值范圍為(13,916) …(15分)

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用,對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類討論思想,數(shù)形結(jié)合思想,難度中檔.

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