當(dāng)整數(shù)n≥0時(shí)，證明多項(xiàng)式xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除．

 

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n=0時(shí)，xn+2+(x+1)2n+1=x2+x+1能被x2+x+1整除．

　　(2)假設(shè)n=k(k≥0，k∈Z)時(shí)命題成立，就是xk+2+(x+1)2k+1能被多項(xiàng)式x2+x+1整除，那么n=k+1時(shí)

　　x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1

　　=x·xk+2+(x+1)2·(x+1)2k+1-xk+2·(x+1)2+xk+2(x+1)2

　　=(x+1)2[xk+2+(x+1)2k+1]-xk+2(x2+x+1)

　　∵　xk+2+(x+1)2k+1，x2+x+1都能被x2+x+1整除

　　∴　n=k+1時(shí)命題成立

綜合(1)，(2)，n≥0，n∈Z時(shí)命題成立．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數(shù)f（x）的一個(gè)解析式；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當(dāng)a＞1時(shí)，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對(duì)于不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

請(qǐng)先閱讀：
設(shè)可導(dǎo)函數(shù) f（x） 滿足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求導(dǎo)法則，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化簡得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合等式(1+x)n=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x2+…+
C
n
n
xn（x∈R，整數(shù)n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=2
C
2
n
x+3
C
3
n
x2+4
C
4
n
x3+…+n
C
n
n
xn-1；
（Ⅱ）當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí)，求
C
1
n
-2
C
2
n
+3
C
3
n
-…+(-1)n-1n
C
n
n
的值；
（Ⅲ）當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí)，證明：2
C
2
n
-3•2
C
3
n
+4•3
C
4
n
+…+(-1)n-2n(n-1)
C
n
n
=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

當(dāng)整數(shù)n≥0時(shí)，證明多項(xiàng)式xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

請(qǐng)先閱讀：
設(shè)可導(dǎo)函數(shù) f（x） 滿足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的兩邊對(duì)x求導(dǎo)，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求導(dǎo)法則，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化簡得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結(jié)合等式(1+x)n=
C0n
+
C1n
x+
C2n
x2+…+
Cnn
xn（x∈R，整數(shù)n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=2
C2n
x+3
C3n
x2+4
C4n
x3+…+n
Cnn
xn-1；
（Ⅱ）當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí)，求
C1n
-2
C2n
+3
C3n
-…+(-1)n-1n
Cnn
的值；
（Ⅲ）當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí)，證明：2
C2n
-3•2
C3n
+4•3
C4n
+…+(-1)n-2n(n-1)
Cnn
=0．

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