Question

已知點(diǎn)R（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線(xiàn)PQ上，且滿(mǎn)足，．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）為軌跡C上兩點(diǎn)，且x₁＞1，y₁＞0，N（1，0），求實(shí)數(shù)λ，使，且．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出M的坐標(biāo)，代入第一個(gè)向量等式，表示出P，Q的坐標(biāo)；將P，Q的坐標(biāo)代入第二個(gè)向量等式，得到軌跡方程．
（II）分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率；聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，表示出弦長(zhǎng)求出k；檢驗(yàn)根的范圍，將根代入向量關(guān)系求出λ．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由
得P（0，），Q（）．
由，
得（3，）•（x，）=0，即y²=4x
又點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，
∴x＞0故點(diǎn)M的軌跡C的方程是y²=4x（x＞0）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知為拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)，
且A、B為過(guò)焦點(diǎn)N的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C的兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存在時(shí)，得A（1，2），B（1，-2），|AB|=，不合題意；（7分）
當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l_AB：y=k（x-1），代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
則|AB|=，解得k²=3（10分）
代入原方程得3x²-10x+3=0，由于x₁＞1，
所以，
由，得．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查求曲線(xiàn)方程的方法：相關(guān)點(diǎn)法；考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，常用的方法是將直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立；考查過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交時(shí)弦長(zhǎng)公式．