Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05．
（1）分別求甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲，P_乙；
（2）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要用的工人數(shù)和資金數(shù)如表所示：

項目用量產(chǎn)品	工人（名）	資金（萬元）
甲	4	20
乙	8	5

且該廠有工人32名，可用資金55萬元．設(shè)x，y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（1）的條件下，使z=xP_甲+yP_乙最大時，求從所生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取3件至少有一件甲產(chǎn)品的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,簡單線性規(guī)劃

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)已知中甲產(chǎn)品為一等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率多0.25，甲產(chǎn)品為二等品的概率比乙產(chǎn)品為一等品的概率少0.05，構(gòu)造關(guān)于P_甲，P_乙的方程線，解得答案；
（2）根據(jù)題意，列出相應(yīng)的不等式組，作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)的特征用線性規(guī)劃的相關(guān)知識找到最優(yōu)解．進而求出所生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取3件的基本事件總數(shù)和至少有一件甲產(chǎn)品事件個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解�。�1）依題意得

P甲-P乙=0.25 1-P甲=P乙-0.05

，
解得

P甲=0.65 P乙=0.4

，
故甲產(chǎn)品為一等品的概率P_甲=0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P_乙=0.4．…（4分）
（2）依題意得x，y應(yīng)滿足的約束條件為

4x+8y≤32 20x+5y≤55 x≥0 y≥0

且z=0.65x+0.4y．
作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，即可行域．
作直線l₀：0.65x+0.4y=0，即13x+8y=0，
把直線l向上方平移到l₁的位置時，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點M，此時z取得最大值．
解方程組

x+2y=8 4x+y=11

得x=2，y=3．
故M的坐標為（2，3），
所以z取得最大值．…（9分）
當x=2，y=3時，事件空間有事件數(shù)10，則至少有一件甲產(chǎn)品的概率為：p=1-

1

10

=

9

10

．
因此，此時從所生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取3件至少有一件甲產(chǎn)品的概率為

9

10

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，線性規(guī)劃，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．