【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅱ)恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),對分類討論,求出單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,即可求出結(jié)論;
(Ⅱ)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足在上恒成立時,的取值范圍,設(shè),通過求導(dǎo)求出,即可求解.
(Ⅰ)由已知得x>0,.
①當(dāng)a≥0時,,此時f(x)是增函數(shù),故不存在兩個零點(diǎn);
②當(dāng)a<0時,由,得,
此時 時,,此時是增函數(shù);
當(dāng) 時, ,此時是減函數(shù),
所以時,f(x)取得極大值,由f(x)有兩個零點(diǎn),
所以,解得.
又,所以f(x)在(0,)有唯一零點(diǎn).
再取,
則.
所以f(x)在有唯一實(shí)數(shù)根,
所以a的取值范圍是.
(Ⅱ)恒成立,即在上恒成立,
即在上恒成立.
令,則.
令,則0.
所以在上遞增,而,
故存在使得,即.
∴.
令,,
所以在上遞增,∴.
而時,,即,
所以在上遞減;
時,,即,
故在上遞增.
所以時,取得極小值,也是最小值,
,∴a≤1.
所以a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中, ,平面平面.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角為?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
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【題目】把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,再把所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,關(guān)于的說法有:①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;②函數(shù)的圖象的一條對稱軸是;③函數(shù)在上的最上的最小值為;④函數(shù)上單調(diào)遞增,則以上說法正確的個數(shù)是( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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【題目】已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長為正三角形,分別是的中點(diǎn),,則球的體積為_________________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三棱錐P﹣ABC中.AB⊥BC,△PAC為等邊三角形,二面角P﹣AC﹣B的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為8π.則三棱錐體積的最大值為( )
A.1B.2C.D.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)求證:方程有兩個實(shí)數(shù)根;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x2﹣2x+1的圖象與函數(shù)g(x)=3cosπx的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2B.4C.6D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力,對其中一臺生產(chǎn)設(shè)備提出了甲、乙兩個改進(jìn)方案:甲方案是引進(jìn)一臺新的生產(chǎn)設(shè)備,需一次性投資1000萬元,年生產(chǎn)能力為30萬件;乙方案是將原來的設(shè)備進(jìn)行升級改造,需一次性投入700萬元,年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示,無論是引進(jìn)新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備,設(shè)備的使用年限均為6年,該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件(不含一次性設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用).
(1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率,各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作年銷量的估計值,并假設(shè)每年的銷售量相互獨(dú)立.
①根據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率:
②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù),試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個方案.(6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用)
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【題目】已知橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為C、D,且過點(diǎn),P是橢圓上異于C、D的任意一點(diǎn),直線PC,PD的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線CP交定直線x = m于點(diǎn)M,當(dāng)m為何值時,為定值.
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