分析 (1)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出PB與平面PDC所成角的正弦值.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量,利用向量法能求出PA的長(zhǎng).
解答 解:(1)設(shè)AC∩BD=O,∵在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°
∴BO=1,AO=CO=√3,
如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則 P(0,-√3,2),A(0,-√3,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-1,0,0)
∴→PB=(1,√3,-2),→PD=(-1,√3,-2),→PC=(0,2√3,-2),
設(shè)平面PDC的法向量→n=(x,y,z),
則{→n•→PD=−x+√3y−2z=0→n•→PC=2√3y−2z=0,取y=√3,得→n=(-3,√3,3),
設(shè)PB與平面PDC所成角為θ,
則sinθ|→n•→PB||→n|•|→PB|=6√21•√8=√1414.
∴PB與平面PDC所成角的正弦值為√1414.
(2)由(1)知→BC=(-1,√3,0),設(shè)P(0,-√3,t)(t>0),
則→BP=(-1,-√3,t),設(shè)平面PBC的法向量→m=(x,y,z),
則{→BC•→m=−x+√3y=0→BP•→m=−x−√3y+tz=0,取y=√3,得→m=(3,√3,6t),
同理,平面PDC的法向量→n=(-3,√3,6t),
∵平面PCB⊥平面PDC,∴→m•→n=-9+3+36t2=0,
解得t=√6,∴PA=√6.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面所成角的正弦值的求法,考查線段長(zhǎng)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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