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13.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(1)若PA=AB,求PB與平面PDC所成角的正弦值;
(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng).

分析 (1)設(shè)AC∩BD=O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出PB與平面PDC所成角的正弦值.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量,利用向量法能求出PA的長(zhǎng).

解答 解:(1)設(shè)AC∩BD=O,∵在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°
∴BO=1,AO=CO=3,
如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則 P(0,-3,2),A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0)
PB=(1,3,-2),PD=(-1,3,-2),PC=(0,23,-2),
設(shè)平面PDC的法向量n=(x,y,z),
{nPD=x+3y2z=0nPC=23y2z=0,取y=3,得n=(-3,3,3),
設(shè)PB與平面PDC所成角為θ,
則sinθ|nPB||n||PB|=6218=1414
∴PB與平面PDC所成角的正弦值為1414
(2)由(1)知BC=(-1,3,0),設(shè)P(0,-3,t)(t>0),
BP=(-1,-3,t),設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z),
{BCm=x+3y=0BPm=x3y+tz=0,取y=3,得m=(3,3,6t),
同理,平面PDC的法向量n=(-3,3,6t),
∵平面PCB⊥平面PDC,∴mn=-9+3+36t2=0,
解得t=6,∴PA=6

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面所成角的正弦值的求法,考查線段長(zhǎng)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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