Question

如圖，已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求p的值．

Answer 1

分析：A、B兩點在拋物線y²=2px上，可設(shè)點A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），根據(jù)向量

OA

、

OB

互相垂直，利用數(shù)量積列式，化簡得y1y2=-4p2．利用經(jīng)過兩點的斜率公式，得直線AB的斜率為k=

2p

y1+y2

，結(jié)合點斜式方程得到直線AB的方程為y-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)，令y=0，化簡可得x=2p，所以直線AB經(jīng)過x軸上的定點M（2p，0）．然后根據(jù)OD⊥AB，得到直線AB的斜率為-2，最后結(jié)合D、M的坐標，可得k=

0-1

2p-2

=-2，解之得p=

5

4

．

解答：解：因為A、B兩點在拋物線y²=2px上，設(shè)點A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂）
∵

OA

⊥

OB

 
∴

OA

•

OB

=

y12

2p

•

y22

2p

 +y1y2=0⇒y1y2(

y1y2

4p2

+1)=0
∵y₁y₂≠0，∴

y1y2

4p2

+1=0⇒y1y2=-4p2…①
∵直線AB的斜率為k=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

∴直線AB的方程為y-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)，
令y=0，得-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)⇒-y12-y1y2=2px-y12
∴-y₁y₂=2px…②
將①代入②，得4p²=2px⇒x=2p
所以直線AB經(jīng)過x軸上的定點M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率為k₁=

0-1

0-2

=

1

2

∴直線AB的斜率為k=

-1

k1

=-2，
∴結(jié)合D、M的坐標，可得k=

0-1

2p-2

=-2，解之得p=

5

4

．

點評：本題給出過原點的直線與拋物線交于A，B兩點，且OA⊥OB，并且已知原點在直線AB上的射影坐標，求拋物線的焦參數(shù)值．著重考查了拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線間的關(guān)系等知識點，屬于難題．