Question

已知向量

m

=（3cosx，

3

sinx），

n

=（2cosx，-2cosx），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=

4

5

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和兩角和的余弦公式，化簡f（x），再由周期公式和對稱軸方程，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用條件的平方關(guān)系，結(jié)合三角形的正弦定理，計(jì)算即可得到．

解答： 解：（1）由于向量

m

=（3cosx，

3

sinx），

n

=（2cosx，-2cosx），
則函數(shù)f（x）=

m

•

n

=6cos²x-2

3

sinxcosx=3（1+cos2x）-

3

sin2x
=3+2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=3+2

3

cos（2x+

π

6

），
則f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=2kπ（k∈Z），可得對稱軸方程x=kπ-

π

12

（k∈Z）；
（2）f（B）=0即cos（2B+

π

6

）=-

3

2

，
由于B為銳角，則

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
即有2B+

π

6

=

5π

6

，解得B=

π

3

，
cosA=

4

5

，A為銳角，則sinA=

3

5

，
在△ABC中，由正弦定理可得
a=

bsinA

sinB

=

2× 3 5

3 2

=

4 3

5

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查三角函數(shù)的恒等變換和余弦函數(shù)的周期，以及正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．